ĐỀ MINH HOẠ TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN NĂM 2026
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Ở mỗi câu thí
sinh chọn đúng một phương án.
Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
2

A.

 cos

C.

 cos

2

x

2
2

x

2
là:
cos 2 x
2

dx = − tan x + C .

B.

 cos

dx = tan x + C .

D.

 cos

2

x

2
2

x

dx = tan x + C .

dx =2 tan x + C .

Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Diện tích của hình phẳng gạch chéo trong
hình dược tính theo công thức nào?

−3

A. S =
C. S =

4

0

4

0



f ( x ) dx −  f ( x ) dx .

0

0

−3

0

4

4

−3

0

 f ( x ) dx −  f ( x ) dx .

B. S =
D. S =

 f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

 f ( x ) dx .

−3

Câu 3: Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép
nhóm sau:

Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là
A.  40;60 ) .

B.  20;40 ) .

Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
không thuộc đường thẳng d ?

C.  60;80 ) .

D. 80;100 ) .

x − 2 y +1 z + 3
. Điểm nào sau đây
=
=
3
−1
2

A. M ( −1; −2; −1) .

B. N ( 2; −1; −3) .

C. P ( 5; −2; −1) .

D.

Q ( −1;0; −5 ) .

Câu 5: Tiệm cân ngang của đồ thị hàm số y =
A. x = −2.

B. x = 1.

2x −1
là đường thẳng có phương trình:
2x + 4
C. y = 1.
D. y = −2.

Câu 6: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 1 ( x + 1)  log 1 ( 2 x − 1)
2

A. S = ( 2; + ) .

B. S = ( −; 2 ) .

2

1 
C. S =  ; 2  .
2 

D. S = ( −1; 2 ) .

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M ( 3; −1; −2 ) và mặt phẳng

( ) : 3x − y + 2 z + 4 = 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M
song với ( ) ?
A. ( ) : 3x + y − 2 z − 14 = 0 .
B. ( ) : 3x − y + 2 z + 6 = 0 .
C. ( ) : 3x − y + 2 z − 6 = 0 .
D. ( ) : 3x − y − 2 z + 6 = 0 .

và song

Câu 8: Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau.

Góc giữa đường thẳng SB và CD bằng
A. 60 .
B. 90 .
Câu 9: Nghiệm của phương trình 32 x +1 = 32− x là
1
A. x = .
B. x = 0 .
3

C. 45 .

D. 30 .

C. x = −1 .

D. x = 1 .

Câu 10: Cho cấp số nhân ( un ) với u1 = 3 và công bội q = 2 . Số hạng tổng quát u n ( n  2 ) bằng
A. 3.2 n−1 .

B. 3.2 n+ 2 .

C. 3.2n .

D. 3.2 n+1 .

Câu 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = −i + 2 j − 3k . Tọa độ của vectơ a là
A. ( −1; 2; −3) .

B. ( 2; −3; −1) .

C. ( 2; −1; −3) .

D. ( −3; 2; −1) .

Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A. 1 .
B. 2 .
C. 0 .
D. 5 .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c),
d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hàm số

y = x+

4
x.

4
.
x2
b) Đạo hàm của hàm số đã cho nhận giá trị âm trên các khoảng ( −2;0 )  ( 0; 2 ) và
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là y = 1 +

nhận giá trị dương trên các khoảng ( −; − 2 )  ( 2; +  ) .
c) Bảng biến thiên của hàm số đã cho là:

d) Đồ thị hàm số đã cho như ở hình 4:

.
Câu 2: Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng
nằm ngang, khung bên ngoài của hầm là hình vuông (tham khảo hình vẽ).

a) Khi đó mặt cắt của cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi parabol có một
2
phương trình là: y = − x 2 + 6 .
3

( )

b) Khi đó, diện tích của cửa hầm bằng 48 m 2 .

( )

c) Khi đó diện tích phần khung ngoài của cửa hầm là 41 m 2 .
d) Với độ dài của hầm là 2, 2 ( km ) . Mội nhà thầu X dự toán tham gia gói thầu đổ bê
tông cho phần khung ngoài của cửa hầm với độ hao hụt 20% khi đổ bê tông. Khi đó
nhà thầu X cần bỏ ra 138 tỷ đồng để tham gia gói thầu trên. Biết bảng giá bê tông
tươi là 1.260.000 đồng / m3 .
Câu 3: Hình minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong không gian Oxyz (xem hình vẽ), trong đó nền
nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.

a) Tọa độ của các điểm F ( 4;0;3) .
b) AH . AF = 3 .

c) Tọa độ vectơ AH = ( 4;5;3) .
d) Góc dốc của hai mái, tức là số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng FG , hai
mặt phẳng lần lượt là ( FGQP ) và ( FGHE ) bằng 26, 60 (làm tròn đến chữ số hàng
phần chục).
Câu 4: Một đội văn nghệ gồm 3 bạn nam và 7 bạn nữ. Chọn ra ngẫu nhiên 3 bạn để biểu diễn một
tiết mục. Gọi A là biến cố "Có ít nhất một bạn nam trong 3 bạn được chọn", B là biến cố "Ba bạn
được chọn có cùng giới tính".
a) Xác suất của biến cố B là 0,333.
1
b) Xác suất của biến cố AB là
.
120
c) Xác suất của biến cố A với điều kiện B là 0,024.
17
d) Xác suất của biến cố A với điều kiện B là
.
42
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3 và cạnh bên SA vuông
góc với đáy. Biết góc nhị diện  B, SC , D  bằng 1200 . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng bao
nhiêu?
Câu 2: Bác Tuấn kiểm tra cân nặng của 40 quả trứng được lựa chọn ngẫu nhiên từ một trang trại
và ghi kết quả vào bảng dữ liệu ghép nhóm sau:

Tính tỉ số của khoảng tứ phân vị và khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(−1;1; 2), B(3; 2; 2), C ( −1;6;0) . Xét M (a; b;0) trên
mặt phẳng (Oxy ) sao cho biểu thức S = 2 MA+ | MB + MC | đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a + b bằng
bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Câu 4: Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm , người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi
qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 450 để lấy một hình nêm

Kí hiệu V là thể tích của hình nêm. Tính V .
Câu 5: Một thành phố dự định xây dựng một trạm nước sạch để cung cấp cho hai khu dân cư A
và B . Trạm nước sạch đặt tại vị trí C trên bờ sông. Biết AB = 13 km , khoảng cách từ A và B
đến bờ sông lần lượt là AM = 5 km, BN = 10 km (hình vẽ). Gọi T là tổng độ dài đường ống từ
trạm nước đến A và B . Khi T đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính khoàng cách AC (kết quả được tính
theo Kilômét và làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 6: Chạy Marathon là môn thể thao chạy bộ đường dài, mà tại đó, người chơi sẽ hoàn thành
quãng đường 42,195 km trong khoảng thời gian nhất định. “FM sub 4” là một thuật ngữ phổ biến
trong cộng đồng những người tham gia chạy Marathon, nó dùng để chỉ thành tích hoàn thành
quãng đường 42,195 km dưới 4 giờ. Trong câu lạc bộ Marathon, tỉ lệ thành viên nam là 72%, tỉ
lệ thành viên nữ là 28%. Đối với nam, tỉ lệ người hoàn thành FM sub 4 là 32%; đối với nữ, tỉ lệ
hoàn thành FM sub 4 là 3%. Chọn ngẫu nhiên một thành viên từ câu lạc bộ đó. Xác suất để người
được chọn là nam bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm), biết rằng người được
chọn đã hoàn thành FM sub 4?
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Ở mỗi câu thí
sinh chọn đúng một phương án.

Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
2

A.

 cos

C.

 cos

2

x

2
2

x

2
là:
cos 2 x
2

dx = − tan x + C .

B.

 cos

dx = tan x + C .

D.

 cos

2

x

2
2

x

dx = tan x + C .

dx =2 tan x + C .

Lời giải
Ta có:

2

 cos

2

x

dx =2 tan x + C .

Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Diện tích của hình phẳng gạch chéo trong
hình dược tính theo công thức nào?

−3

A. S =



f ( x ) dx −  f ( x ) dx .

0

0

0

C. S =

4



−3

0

B. S =



−3

4

f ( x ) dx +  f ( x ) dx .
0

4

4

f ( x ) dx −  f ( x ) dx .

D. S =

 f ( x ) dx .

−3

0

Lời giải
S=

0

4

0

4

−3

0

−3

0

 ( f ( x ) − 0) dx +  ( 0 − f ( x ) ) dx =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx

Câu 3: Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép
nhóm sau:

Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là
A.  40;60 ) .

C.  60;80 ) .

B.  20;40 ) .

D. 80;100 ) .

Lời giải
Ta có: n = 42 nên trung vị của mẫu số liệu trên là Q2 =

x21 + x22
2

Mà x21 , x22   40;60 ) . Vậy nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là nhóm [40;60)

Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
không thuộc đường thẳng d ?
A. M ( −1; −2; −1) .

x − 2 y +1 z + 3
. Điểm nào sau đây
=
=
3
−1
2

B. N ( 2; −1; −3) .

C. P ( 5; −2; −1) .

D.

Q ( −1;0; −5 ) .

Lời giải
Thay tọa độ các điểm M , N , P, Q vào phương trình đường thẳng d ta có:
−1 − 2 −2 + 1 −1 + 3

=
 M không thuộc đường thẳng d .
3
−1
2
2 − 2 −1 + 1 −3 + 3
=
=
 N thuộc đường thẳng d .
3
−1
2
5 − 2 −2 + 1 −1 + 3
=
=
 P thuộc đường thẳng d .
3
−1
2
−1 − 2 0 + 1 −5 + 3
=
=
 Q thuộc đường thẳng d .
3
−1
2

Câu 5: Tiệm cân ngang của đồ thị hàm số y =
A. x = −2.

B. x = 1.

2x −1
là đường thẳng có phương trình:
2x + 4
C. y = 1.
D. y = −2.
Lời giải

Ta có lim y = 1 nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
x →

2x −1
là đường thẳng có
2x + 4

phương trình y = 1.
Câu 6: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 1 ( x + 1)  log 1 ( 2 x − 1)
2

A. S = ( 2; + ) .

B. S = ( −; 2 ) .

2

1 
C. S =  ; 2  .
2 

Lời giải
 x  −1
x +1  0
1

Điều kiện: 

1  x  (*)
2
x
2 x − 1  0

2


log 1 ( x + 1)  log 1 ( 2 x − 1)  x + 1  2 x − 1  x − 2  0  x  2
2

2

1 
Kết hợp (*)  S =  ; 2  .
2 

D. S = ( −1; 2 ) .

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M ( 3; −1; −2 ) và mặt phẳng

( ) : 3x − y + 2 z + 4 = 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M
song với ( ) ?
A. ( ) : 3x + y − 2 z − 14 = 0 .
B. ( ) : 3x − y + 2 z + 6 = 0 .
C. ( ) : 3x − y + 2 z − 6 = 0 .
D. ( ) : 3x − y − 2 z + 6 = 0 .

và song

Lời giải
Ta có ( ) : 3x − y + 2 z + 4 = 0 suy ra n ( 3; −1; 2 ) là một vecto pháp tuyến của mặt
phẳng ( ) . Vậy mặt phẳng đi qua điểm M và song song với ( ) sẽ nhận n ( 3; −1; 2 )
là một vecto phanps tuyến. Vậy phương trình của mặt phẳng đó là:

( ) : 3 ( x − 3) − 1( y + 1) + 2 ( z + 2 ) = 0  3x − y + 2 z − 6 = 0 .

Câu 8: Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau.

Góc giữa đường thẳng SB và CD bằng
A. 60 .
B. 90 .
C. 45 .
Lời giải

D. 30 .

Ta có ABCD là hình thoi nên AB //CD nên ( SB, CD ) = ( SB, AB ) .
Lại có tam giác SAB đều nên ( SB, AB ) = 60 . Vậy ( SB, CD ) = 60 .
Câu 9: Nghiệm của phương trình 32 x +1 = 32− x là
1
A. x = .
B. x = 0 .
3

C. x = −1 .

D. x = 1 .

Lời giải
Xét phương trình 32 x +1 = 32− x = 2 x + 1 = 2 − x = x =

1
3

Câu 10: Cho cấp số nhân ( un ) với u1 = 3 và công bội q = 2 . Số hạng tổng quát u n ( n  2 ) bằng
A. 3.2 n−1 .

B. 3.2 n+ 2 .

C. 3.2n .
Lời giải

D. 3.2 n+1 .

Số hạng tổng quát của cấp số nhân ( un ) là: un = u1.q n −1 nên chọn đáp án A.
Câu 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = −i + 2 j − 3k . Tọa độ của vectơ a là
A. ( −1; 2; −3) .

B. ( 2; −3; −1) .

C. ( 2; −1; −3) .

D. ( −3; 2; −1) .

C. 0 .

D. 5 .

Lời giải
Ta có a = −i + 2 j − 3k  a ( −1; 2; −3) .
Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A. 1 .
B. 2 .
Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 5 .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c),
d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hàm số

y = x+

4
x.

4
.
x2
b) Đạo hàm của hàm số đã cho nhận giá trị âm trên các khoảng ( −2;0 )  ( 0; 2 ) và
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là y = 1 +

nhận giá trị dương trên các khoảng ( −; − 2 )  ( 2; +  ) .
c) Bảng biến thiên của hàm số đã cho là:

d) Đồ thị hàm số đã cho như ở hình 4:

.
Lời giải
4
x  2
4
Đạo hàm của hàm số đã cho là y = 1 − 2 . Suy ra y = 1 − 2  0  
, x  0 nên
x
x
 x  −2
đạo hàm của hàm số đã cho nhận giá trị âm trên các khoảng ( −2;0 )  ( 0; 2 ) và nhận
giá trị dương trên các khoảng ( −; − 2 )  ( 2; +  ) .
Bảng biến thiên của hàm số đã cho là:

Đồ thị hàm số đã cho như ở hình 4, mệnh đề đúng

.
Câu 2: Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng
nằm ngang, khung bên ngoài của hầm là hình vuông (tham khảo hình vẽ).

a) Khi đó mặt cắt của cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi parabol có một
2
phương trình là: y = − x 2 + 6 .
3

( )

b) Khi đó, diện tích của cửa hầm bằng 48 m 2 .

( )

c) Khi đó diện tích phần khung ngoài của cửa hầm là 41 m 2 .
d) Với độ dài của hầm là 2, 2 ( km ) . Mội nhà thầu X dự toán tham gia gói thầu đổ bê
tông cho phần khung ngoài của cửa hầm với độ hao hụt 20% khi đổ bê tông. Khi đó
nhà thầu X cần bỏ ra 138 tỷ đồng để tham gia gói thầu trên. Biết bảng giá bê tông
tươi là 1.260.000 đồng / m3 .
Lời giải
a) Đúng.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

Khi đó mặt cắt của cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi một parabol có
phương trình có dạng: y = ax 2 + 6 .

2
Vì parabol đi qua điểm ( 3;0 ) nên a = − .
3

2
Khi đó parabol có một phương trình là: y = − x 2 + 6 .
3
2
Ta có cửa hầm là hình phẳng giới hạn bởi parabol là y = − x 2 + 6 và đường thẳng
3
nằm ngang là y = 0
2
Phương trình hoành độ giao điểm là: − x 2 + 6 = 0  x 2 = 9  x = 3
3
3
 2

 2
3
2
Diện tích của cửa hầm là: S =   − x 2 + 6 dx =  − x3 + 6 x 
= 24 m .
3

 9
 −3
−3 

( )

Khi đó cạnh của hình vuông là: 8 ( m ) . Suy ra diện tích phần còn lại của mặt cắt phần

( )

khung ngoài của cửa hầm là: S = 82 − 24 = 40 m 2 .
Với độ dài của hầm là 2, 2 ( km ) .

 2200
 100
Khi đó thể tích phần cần đổ bê tông là: V =   Sdx 
= 110000 ( m3 ) .
80
 0

Khi đó số tiền mà nhà thầu X tham gia gói thầu là:
110000 1260000 = 138600000000 (đồng).
Vậy nhà thầu X cần bỏ ra 138, 6 tỷ đồng.
Câu 3: Hình minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong không gian Oxyz (xem hình vẽ), trong đó nền
nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.

a) Tọa độ của các điểm F ( 4;0;3) .
b) AH . AF = 3 .
c) Tọa độ vectơ AH = ( 4;5;3) .

d) Góc dốc của hai mái, tức là số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng FG , hai
mặt phẳng lần lượt là ( FGQP ) và ( FGHE ) bằng 26, 60 (làm tròn đến chữ số hàng
phần chục).
Lời giải
Vì nền nhà là hình chữ nhật nên tứ giác OABC là hình chữ nhật, suy ra
x A = xB = 4, yC = yB = 5. Do A nằm trên trục Ox nên A = ( 4;0;0 ) .
Tứ giác OAFE là hình chữ nhật nên xF = x A = 4 ; y A = yF = 0 z F = z E = 3 .
Vậy: Tọa độ của các điểm F ( 4;0;3) . Tương tự ta có: H ( 0;5;3)  AH = ( −4;5;3) ;

AF = ( 0;0;3) . Suy ra AH . AF = 9 . Ta có: A = ( 4;0;0 ) ; H ( 0;5;3)  AH = ( −4;5;3) .
Để tính góc dốc của mái nhà, ta đi tính số đo góc nhị diện có cạnh là đường thẳng FG
, hai mặt phẳng lần lượt là ( FGQP ) và ( FGHE ) . Do mặt phẳng ( Ozx ) vuông góc với
hai mặt phẳng ( FGQP ) và ( FGHE ) nên góc PFE là góc phẳng nhị diện ứng với góc
nhị diện đó.
Ta có FP = ( −2;0;1) , FE = ( −4;0;0 ) .
Suy ra:

(

)

cos PFE = cos FP, FE =

FP  FE
FP  FE

=

( −2 )  ( −4 ) + 0  0 + 1 0
(−2) 2 + 02 + 12  (−4) 2 + 02 + 02

=

2 5
5

Vậy góc dốc của mái nhà khoảng 26, 6 .
Câu 4: Một đội văn nghệ gồm 3 bạn nam và 7 bạn nữ. Chọn ra ngẫu nhiên 3 bạn để biểu diễn một
tiết mục. Gọi A là biến cố "Có ít nhất một bạn nam trong 3 bạn được chọn", B là biến cố "Ba bạn
được chọn có cùng giới tính".
a) Xác suất của biến cố B là 0,333.
1
b) Xác suất của biến cố AB là
.
120
c) Xác suất của biến cố A với điều kiện B là 0,024.
17
d) Xác suất của biến cố A với điều kiện B là
.
42
Lời giải
Xác suất biến cố B là P ( B ) =

C73 + C33
= 0,3 .
C103

AB là biến cố "Ba bạn được chọn đèu là nam"

Xác suất biến cố AB là P ( AB ) =

C33
1
.
=
3
C10 120

1
P ( AB ) 120 1
P ( A | B) =
=
=
.
P ( B)
0,3 36
C73 17
17
1
Có P ( A) = 1 − 3 =
, P ( AB ) = P ( A ) − P ( AB ) =
−
= 0, 7 .
24 120
C10 24
Vậy P ( A | B ) =

P ( AB )
P(B)

=

P ( AB )

1− P ( B)

=

0, 7
=1
1 − 0,3

Cách 2 : Biến cố A với điều kiện B là biến cố chắc chắn nên P ( A | B ) = 1 .
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3 và cạnh bên SA vuông
góc với đáy. Biết góc nhị diện  B, SC , D  bằng 1200 . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng bao
nhiêu?
Lời giải
Đáp án: 9
S

M
A

D

1200
3

B

3

C

BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ SB  SBC vuông tại B CD ⊥ ( SAD )  CD ⊥ SD  SCD

vuông tại D . Ta có: SBC = SDC ( c − c − c ) .
Trong tam giác SBC kẻ đường cao BM ⊥ SC tại M , lúc đó DM ⊥ SC và
BM = DM
Góc phẳng nhị diện  B, SC , D  bằng góc BMD = 1200

BD 2 = BM 2 + DM 2 − 2 BM .DM .cos1200 = 3BM 2  BM =

BD 3 2
=
= 6
3
3

1
1
1
1
1
1
1 1 1
= 2+
 2 =
−
= − =  SB = 3 2
2
2
2
2
BM
SB
BC
SB
BM
BC
6 9 18
1
SA = SB 2 − AB 2 = 3 . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng VS . ABCD = .32.3 = 9 .
3

Câu 2: Bác Tuấn kiểm tra cân nặng của 40 quả trứng được lựa chọn ngẫu nhiên từ một trang trại
và ghi kết quả vào bảng dữ liệu ghép nhóm sau:

Tính tỉ số của khoảng tứ phân vị và khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Lời giải
0,32
Đáp án:
.
Bảng tần số ghép nhóm:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 100 − 75 = 25( g) .
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là Q1 = 80 ; tứ phân vị thứ ba của mẫu
số liệu ghép nhóm là Q3 = 88 .
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là 80 − 88 = 8 .
Tỉ số của khoảng tứ phân vị và khoảng biến thiên là 8 : 25 = 0,32 .
Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(−1;1; 2), B(3; 2; 2), C ( −1;6;0) . Xét M (a; b;0) trên
mặt phẳng (Oxy ) sao cho biểu thức S = 2 MA+ | MB + MC | đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a + b bằng
bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Lời giải
Đáp án: 3,3 .
Trung điểm của BC là I (1; 4;1) . Ta có S = 2MA+ | 2 MI |= 2 ( MA + MI ) .
Do điểm A và điểm I nằm cùng phía so với mặt phẳng (Oxy ) nên
MA + MI = MA + MI với A (−1;1; −2) là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (Oxy ) .

Ta lại có S = 2 ( MA + MI )  2 AI . Suy ra M  (Oxy ) và M , A, I thẳng hàng.
Khi đó, hai vectơ AM = ( a + 1; b − 1; 2 ) , AI = ( 2;3;3) cùng phương.

1

a + 1 b − 1 2 a =
10
=
= 
Suy ra
3 . Vậy a + b =  3,3 .
2
3
3 
3
b = 3
Câu 4: Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm , người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi
qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 450 để lấy một hình nêm

Kí hiệu V là thể tích của hình nêm. Tính V .
Lời giải
Đáp số: 2250

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có phương
trình: y = 225 − x 2 , x   −15;15
Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x , ( x   −15;15)
cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là S ( x ) .
Dễ thấy NP = y và MN = NP tan 450 = y = 225 − x 2 khi đó

S ( x) =
15

=

15
1
1
MN .NP = . 225 − x 2 suy ra thể tích hình nêm là: V =  S ( x )dx
2
2
−15

(

(

)

)

(

1
. 225 − x 2 dx = 2250 cm3

2 −15

)

Câu 5: Một thành phố dự định xây dựng một trạm nước sạch để cung cấp cho hai khu dân cư A
và B . Trạm nước sạch đặt tại vị trí C trên bờ sông. Biết AB = 13 km , khoảng cách từ A và B
đến bờ sông lần lượt là AM = 5 km, BN = 10 km (hình vẽ). Gọi T là tổng độ dài đường ống từ
trạm nước đến A và B . Khi T đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính khoàng cách AC (kết quả được tính
theo Kilômét và làm tròn đến hàng phần mười).

Lời giải
Đáp án: 6,4
Ta có AD 2 = AB 2 − BD 2 = 132 − 52 = 144  AB = 12 ( km )

Đặt MC = x, ( 0  x  12 ) suy ra CN = 12 − x; BC =
Khi đó T = CA + BC =
Xét hàm số f ( x ) =

(12 − x )

(12 − x )

2

2

(12 − x )

2

+ 100; AC = x 2 + 25 .

+ 100 + x 2 + 25 = f ( x )

+ 100 + x 2 + 25 trên khoảng ( 0;12 )

Ta có
f ( x) =

x
x + 25
2

−

12 − x

(12 − x )

2

+ 100

; f  ( x ) = 0  (12 − x ) x 2 + 25 = x

 25 (12 − x ) = 100 x 2  x = 4
2

Bảng biến thiên của hàm số f ( x ) =

(12 − x )

2

+ 100 + x 2 + 25

(12 − x )

2

+ 100

Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 3 41 khi x = 4 . Suy ra AC = 41  6, 4
Câu 6: Chạy Marathon là môn thể thao chạy bộ đường dài, mà tại đó, người chơi sẽ hoàn thành
quãng đường 42,195 km trong khoảng thời gian nhất định. “FM sub 4” là một thuật ngữ phổ biến
trong cộng đồng những người tham gia chạy Marathon, nó dùng để chỉ thành tích hoàn thành
quãng đường 42,195 km dưới 4 giờ. Trong câu lạc bộ Marathon, tỉ lệ thành viên nam là 72%, tỉ
lệ thành viên nữ là 28%. Đối với nam, tỉ lệ người hoàn thành FM sub 4 là 32%; đối với nữ, tỉ lệ
hoàn thành FM sub 4 là 3%. Chọn ngẫu nhiên một thành viên từ câu lạc bộ đó. Xác suất để người
được chọn là nam bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm), biết rằng người được
chọn đã hoàn thành FM sub 4?
Lời giải
Đáp án: 0,96
Gọi A là biến cố: “Người được chọn là nam”.

B là biến cố: “Người được chọn đã hoàn thành FM sub 4 ”.
Ta có:

( )
P ( B | A ) = 0,32; P ( B | A ) = 0, 03
P ( A ) = 0, 72  P A = 0, 28

Xác suất để người được chọn là nam, biết rằng người đó đã hoàn thành FM sub 4 là:
P ( A B) =

P ( A).P ( B A )

( )

P ( A).P ( B A ) + P ( A).P B A

=

0, 72.0,32
 0,96.
0, 72.0,32 + 0, 28.0, 03

-------------HẾT-------------