Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang,
chiều dương từ trái sang phải (H 1.1). Giả sử vị trí s(t) (mét) của chất
điểm trên trục số đã cho tại thời điểm t(giây) được cho bởi công
thức :
3
2

s(t) t  9t  15t , t  0

Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động
sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển
động sang trái ?

O

Hình 1.1

s(t)

1 . TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ .

a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số .
Nhận biết tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Quan sát đồ thị của hàm số (H 1.2)
a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào ?
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào ?
 Từ đồ thị ta thấy :
+ Xét khoảng

" x1, x2 Î (0
(0;; +¥ ), x1 < x2 thì x12 < x22 hay f (x1) < f (x2)
Suy ra hàm số đồng biến trên
+ Xét khoảng

" x1, x2 Î (- ¥ ;0), x1 < x2 thì x12 > x22 hay f (x1) > f (x22)
Suy ra hàm số nghịch biến trên

1 . TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ .

a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số .

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và
là hàm số xác định trên K
• Hàm số được gọi là đồng biến trên K nếu

x1, x2  K , x1  x2  f (x1)  f (x2)
•

Hàm số được gọi là nghịch biến trên K nếu

x1, x2  K , x1  x2  f (x1)  f (x2)

1 . TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ .

a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số .
 Chú ý : Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái
sang phải (H 1.3a) . Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số
đi xuống từ trái sang phải (H 1.3b)
y

O

y

y = f(x)

a

y = f(x)

b

a) Hàm số đồng biến trên (a; b)

x
Hình 1.3

O

a

b

x

b) Hàm số nghịch biến trên (a; b)

• Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên
K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm
các khoảng đơn điệu của hàm số .
• Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà không chỉ rõ tập K thì ta hiểu là xét trên
tập xác định của hàm số đó.

1 . TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ .

 Tập xác định của hàm số là R
Từ đồ thị suy ra :
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +)
nghịch biến trên khoảng (- )

1 . TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ .

 Tập xác định của hàm số là R
Từ đồ thị suy ra :
Hàm số đồng biến trên khoảng (- )
và (2; +)
Hàm số nghịch biến trên khoảng ()

1 . PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN .

Nhận biết mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Xét hàm số

có đồ thị như H 1.6

a) Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng . Nêu nhận xét về mối
quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu đạo hàm của hàm số
trên mỗi khoảng này.
b) Có nhận xét gì về đạo hàm y' và hàm số y trên khoảng (-1; 1) ?

+ Xét khoảng ta có
Vậy trong khoảng hàm số nghịch biến và đạo hàm
+ Xét khoảng ta có
Vậy trong hàm số đồng biến và đạo hàm

1 . TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ .

 Định lí :

Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng K
a) Nếu với mọi thì hàm số f(x) đồng biến trên K
b) Nếu với mọi thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

• Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp tại một số hữu hạn
điểm trong khoảng K
• Người ta chứng minh được rằng, nếu với mọi thì hàm số
không đổi trên khoảng K.

1 . TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ .

Tập xác định của hàm số là R
Ta có :
với và với
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng
nghịch biến trên khoảng

1 . TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ .

Tập xác định của hàm số là R
Ta có :
với và với
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng
nghịch biến trên khoảng

1 . TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ .

b) Sử dụng bảng biến thiên xét tính đơn điệu của hàm số
Xét tính đơn điệu của hàm số bằng bảng biến thiên
Cho hàm số
a) Tính đạo hàm và tìm các điểm x mà
b) Lập bảng biên thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm
và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.
c) Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số .

a) f '(x) (x3  3x2  2x  1)'  3x2  6x  2

3 3
x 
3
f '(x)  0  3x2  6x  2  0 

3 3
x 

3

b) Sử dụng bảng biến thiên xét tính đơn điệu của hàm số

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng và
trên khoảng

nghịch biến

1 . TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ .

 Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số

1. Tìm tập xác định của hàm số
2. Tính đạo hàm . Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
không tồn tại.
3. Sắp xếp các điểm i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến
thiên của hàm số .
4. Nếu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của
hàm số

( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một và không có tên người soạn

( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một và không có tên người soạn )

( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một và không có tên người soạn )

( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một và không có tên người soạn )

( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một và không có tên người soạn )

( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một và không có tên người soạn )

( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một và không có tên người soạn )

( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một và không có tên người soạn )

( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một và không có tên người soạn )

2 . CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ .

b) Cách tìm cực trị của hàm số .
Từ định lí trên ta có các bước tìm cực trị của hàm số như
sau :
1. Tìm tập xác định của hàm số
2. Tính đạo hàm . Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm hoặc đạo
hàm không tồn tại.
3. Lập bảng biến thiên của hàm số .
4. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số .

( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một và không có tên người soạn )

( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một và không có tên người soạn )

( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một và không có tên người soạn )

( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một và không có tên người soạn )

( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một và không có tên người soạn )

( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một và không có tên người soạn )

( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một và không có tên người soạn )

( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một và không có tên người soạn )

( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một và không có tên người soạn )

( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một và không có tên người soạn )

( Bản full sẽ có hiệu ứng trình chiếu từng bước một và không có tên người soạn )