Chứng minh một số không phải là số chính phương

Phương pháp 1.
Nhìn chữ số tận cùng:
- Vì số chính phương bằng bình phương của một số nên suy ra.Số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số: 0,1,4,5,6,9. Từ đó ta có thể giải được các bài toán dạng sau đây:

Bài toán 1.
Chứng minh số: n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012. Không là số chính phương.
LG.
- Ta thấy chữ số tận cùng của các số: 20042,20032,20022,20012lần lượt là 6,9,4,1. Do đó n có chữ số tận cùng là 8. Nên n không phải là số chính phương.
Chú ý: Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số: 0,1,4,5,6,9 nhưng vẫn không phải là số chính phương, khi đó ta phải lưu ý thêm: Nếu một số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì nó phải chia hết cho p2

Bài toán 2.
Chứng minh số: 1234567890 không phải là số chính phương.
LG.
- Ta thấy số: 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng bằng 0), nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng bằng 90). Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương.
Chú ý:
- Có thể luận rằng: Số 1234567890 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90).Nên 1234567890 không phải là số chính phương.

Bài toán 3.
Chứng minh rằng xnếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương.
LG.
Ta thấy tổng các chữ số của 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà nó lại không chia hết cho 9. Nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Do đó số này không phải là số chính phương.

Phương pháp 2.
Dùng tính chất của số dư.
Bài toán 4.
Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương
LG.
- ở đây ta không gặp trường hợp như bài toán 3 nên ta phải nghĩ đến phương pháp khác.
Ta thấy chắc chắn số này chia cho 3 dư 2 nên ta có lời giải sau:
- Vì số chíng phương khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 mà thôi ( đây là kết quả của bài toán mà ta dễ dàng chứng minh được).
- Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2. Nên số đó không phải là số chính phương.

Bài toán 5. ( Tương tự bài toán 4)
Chứng minh tổng các số tự nhien liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số chính phương.

Bài toán 6.
Chứng minh số: 20044 + 20043 + 20042 + 23 không phải là số chính phương.

Phương pháp 3.
Tình huống chứng minh n không là số chính phương nhưng n chia cho 3 vẫn dư 0 hoặc 1.

VD: Bài toán 7.
Chứng minh số: n = 44 + 444 + 4444 + 44444 + 15 không là số chính phương.
Nhận xét:
Nếu chia n cho 3 số dư sẽ là 1. Vậy không giải được theo cách của bài toán 3,4,5,6.
Nếu xét