3

Giả sử khối lượng còn lại của một chất phóng xạ (gam) sau t
ngày phân rã được cho bởi hàm số
 0,012t

m(t) 15e

Khối lượng m(t) thay đổi ra sao khi ? Điều này thể hiện
trên Hình 1.18 như thế nào ?
y

15

y = m(t)

x

O

Hình 1.18

1 . ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG .

Nhận biết đường tiệm cận ngang
Cho hàm số có đồ thị (C). Với , xét điểm M thuộc (C). Gọi H là hình chiếu
vuông góc của M trên đường thẳng
a) Tính khoảng cách MH
b) Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi

 2x  1
a) Ta có : M  x;
 ; H x;2
x 


 

2x  1 22
 MH  (x  x)  (2 
)
x
2

2x  2x 
 (
x

12 1
) 
x

Hình 1. 19

1 . ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG .

Nhận biết đường tiệm cận ngang
Cho hàm số có đồ thị (C). Với , xét điểm M thuộc (C). Gọi H là hình chiếu
vuông góc của M trên đường thẳng
a) Tính khoảng cách MH
b) Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi

1
b) Ta có : lim  0
x  x
Do đó , khi thì

Hình 1. 19

1 . ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG .

Đường thẳng gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm
số nếu

lim f (x) y0 hoặc lim f (x) y0

x 

x 

1 . ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG .

2
3
3x  2
x 3
 Ta có : lim f (x)  lim
 lim
x 
x 
x  x  1
1
1
x
Tương tự ta có : lim f (x)  3
x  

Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận ngang
là đường thẳng

1 . ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG .

2
x2  1
x
1
1
 Ta có : lim f (x)  lim
 lim
 lim 1  2 1
2
x 
x 
x 
x 
x
x
x

 x22  1 
1
x2  1
 lim   1  2   1

lim f (x)  lim
 lim  
2
2
x  
x  
x   
 x  
x 
x
x


Vậy đồ thị hàm số f(x) có 2 tiệm cận
ngang là và

1 . ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG .

 Ta có :

2x  1
lim
 lim
x  x  1
x 
2x  1
lim
 lim
x   x  1
x  

2
1
2
1

1
x 2
1
x
1
x 2
1
x

Do đó tiệm cận ngang của hàm số là đường thẳng

1 . ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG .

 Ta có :

lim m(t)  lim15e 0,012t  lim 15  0
t  
t  
t   e0,012t

Do đó , khi
Trong hình 1.18 , khi thì m(t) càng gần trục
hoành Ot (nhưng không chạm trục Ot)

2 . ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG .

Nhận biết đường tiệm cận đứng
Cho hàm số có đồ thị (C) . Với , xét điểm M thuộc (C). Gọi H là hình chiếu
vuông góc của M trên đường thẳng
a) Tính khoảng cách MH
b) Khi M thay đổi trên (C) sao cho khoảng cách MH dần đến 0, có nhận xét
gì về tung độ của điểm M?

a) Ta có :

(C )

x
x 2
 MH  (1  x)  (

) x  1
x 1 x 1
2

b) Khi khoảng cách MH dần đến 0 thì tung độ
của điểm M dần ra xa vô tận về phía trên
(tung độ điểm M tiến ra +∞)

2 . ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG .

Đường thẳng gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận
đứng ) của đồ thị nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được
thoả mãn:

lim f (x)  ; lim f (x)  ; lim f (x)   ; lim f (x)   ;

x x0

x x0

x x0

x x0

2 . ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG .

3

x
 Ta có : lim f (x)  lim



x 2
x 2 x  2
3 x
lim f (x)  lim
 
x 2
x 2 x  2
Vậy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là

2 . ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG .

2  x1
2  x1
2x  1
2
x

1
 Ta có : lim
 lim

2
;
lim

lim

2
4
x  x  4
x  1 
x   x  4
x   1  4
x
x
Nên hàm số có tiệm cận ngang là
 Lại có :

2x  1
2x  1
 
lim f (x)  lim
 ; lim f (x)  lim
x 4
x 4 x  4
x 4
x 4 x  4
Nên hàm số có tiệm cận đứng là

2 . ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG .

 Ta có :

45p
lim C (p)  lim

p 100
p 100 100  p

Nên hàm số C(p) có tiệm cận đứng là
Ý nghĩa của đường tiệm cận là: Không thể loại bỏ hết loài tảo độc ra khỏi
hồ nước dù chi phí là bao nhiêu .

3 . ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN .

Nhận biết đường tiệm cận xiên
Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng
a) Với , xét điểm M thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên
đường thẳng .
Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi
b) Chứng tỏ rằng lim  f (x)  (x . 1)  0
x  
Tính chất này thể hiện
trên Hình 1.24 như thế nào ?

x=
y

a) Nhìn vào đồ thị ta thấy : khi thì khoảng cách MH
tiến tới 0.


2
b) lim  f (x)  (x  1)  lim  x  1 
 (x  1)
x 
x 
x 1
2

2  lim x  0
 lim
x  1  1
x  x  1
x

1

(C )

Hình 1.24

3 . ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN .

Nhận biết đường tiệm cận xiên
Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng
a) Với , xét điểm M thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên
đường thẳng .
Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi
b) Chứng tỏ rằng lim  f (x)  (x . 1)  0
x  
Tính chất này thể hiện
trên Hình 1.24 như thế nào ?
(C )

y

=

x-

1

Tính chất này được thể hiện trong Hình 1.24 là: Khoảng
cách từ điểm M của đồ thị hàm số (C) đến đường thẳng
tiến đến 0 khi

Hình 1.24

3 . ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN .

 Đường thẳng gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
nếu :

lim  f (x)  (ax  b)  0

x 

hoặc

lim  f (x)  (ax  b)  0

x  

3 . ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN .

Ta có : lim  f (x)  x 
x 

lim  f (x)  x
x  

1
 lim
0
x  x  2
1
 lim
0
x   x  2

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng
 Lưu ý :

1
1
lim  lim  0
x  x
x   x

3 . ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN .

Nếu là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số thì
lim  f (x)  (ax  b)  0 hoặc lim  f (x)  (ax  b)  0
x 

Do đó

lim  f (x)  (ax  b)  0

x 

f (x)
Suy ra : a  lim
hoặc
x  x

x 

hoặc

lim  f (x)  (ax  b)  0

x 

f (x)
a  lim
x   x

b  lim  f (x)  ax hoặc lim  f (x)  (ax  b)  0
x 
x 
Ngược lại, với a và b được xác định như trên thì đường thẳng
là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số .
Đặc biệt nếu thì đồ thị có tiệm cận ngang.

3 . ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN .

2
x
 x2
f (x)
x  x2
 lim
1
 lim
Ta có : a  lim
2
x 
x  x
x  (x  1)x
x x

2

 x2  x  2

 2x  2
b  lim  f (x)  x  lim 
 x  lim
 2
x 
x 
x  x  1
x

1


f (x)
1 ; lim  f (x)  x  2
Tương tự : lim
x   x
x  
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng

3 . ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN .

Trong thực hành, để tìm tiệm cận xiên của hàm phân thức
trong Ví dụ 6, ta viết :
2

Ta có :

x  x2
4
y  f (x) 
x  2 
x 1
x 1
4
lim  f (x)  (x  2)  lim
0
x 
x  x  1
4
lim  f (x)  (x  2)  lim
0
x  
x   x  1

Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng

3 . ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN .

2

x  4x  2

 Ta có : lim f (x)  lim
x 1
x 1
1 x
x2  4x  2
lim f (x)  lim
 
x 1
x 1
1 x
Do đó hàm số có tiệm cận đứng là

3 . ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN .

2

x  4x  2
1
 Ta có : y  f (x) 
 x  3 
1 x
1 x
1
 lim  f (x)  ( x  3)  lim
0
x 
x  1  x
1
lim  f (x)  ( x  3)  lim
0
x  
x   1  x
Do đó hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng

Thầy (cô) vào đường link bên dưới để xem toàn bộ bài giảng Powerpoint môn Toán 12 - KNTT

https://sites.google.com/view/giaoandientu-toan12-kntt/
trang-ch%E1%BB%A7
(copy đường link và dán vào trình duyệt)
Bài giảng được thực hiện công phu và đầy đủ các bài tập và luyện tập .
Đặt biệt là phân môn Hình học : các hình vẽ được vẽ chuẩn xác và rõ nét hơn cả SGK ( Đây là
điểm khác biệt lớn của bộ Giáo án này ).
Hình ảnh không copy từ SGK , để dính bản quyền của bộ sách KNTT.
Tất cả bài tập : Đại số + Hình học đều có hình minh hoạ đầy đủ , giúp việc dạy học dễ dàng .

a) lim f (x)  2 ; lim f (x)  2
x  
x  

x 

lim f (x)   ; lim f (x)  

x 1

x 1

b) Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị là
Tiệm cận ngang là

 Ta có :

2

x  2x  3
(x  1)(x  3)
lim f (x)  lim
 lim
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
 lim(
x

3)

4

x 1

x2  2x  3
(x  1)(x  3)
lim f (x)  lim
 lim
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
 lim(
x  3)  4

x 1

Do đó đường thẳng không phải là tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số đã cho.

 1
3 x
1
a) lim y  lim
 lim

1
x 
x  2x  1
x  2 
2
x
3
 1
3 x
1
x
lim y  lim
 lim

x  
x   2x  1
x   2  1
2
x
3
x

Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là

3 x
3 x
Ta có :
lim y  lim
  ; lim y  lim

1
1
1
1
x (  )
x (  ) 2x  1
x (  )
x (  ) 2x  1
2

2

2

Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

2

(2  x1 

)
2x  x  1
b) lim y  lim
 lim

x 
x 
x 
x2
(1  x2)
1
1
2
(2


)
2x  x  1
x
x2
lim y  lim
 lim


x 
x  
x  
x2
(1  x2)
2

1
x2

Do đó đồ thị hàm số có không có tiệm cận ngang
2

2x  x  1
2x  x  1
y  lim

  ; xlim
Ta có : lim y  lim
  2
x  2
x2
x  2
x  2
x2
2

Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

2x2  x  1
5
Ta có :
y
 2x  3 
x2
x2
5
 lim  f (x)  (2x  3)  lim
0
x 
x  x  2
5
lim  f (x)  (2x  3)  lim
0
x  
x   x  2
Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng

 Ta có :

C (x) 2x  50
f (x) 

x
x

Vì với mọi x nên là hàm số giảm

2  50
2x  50
x
lim f (x)  lim
 lim
 2 (dpcm)
x 
x 
x 
x
1
Tính chất này nói lên: Khi sản xuất càng nhiều sản phẩm thì chi phí sản xuất trung
bình cho mỗi sản phẩm càng giảm, nhưng không dưới 2.

144
 Độ dài cạnh còn lại của mảnh vườn là :
(m)

Ta có :

x
144
288
)  2x 
(m)
2(x 
Chu vi mảnh vườn : P (x)  2(
x
x
288
288
) 
lim P (x)  lim(2x 
)   ; lim P (x)  lim(2x 
x 
x 
x  
x  
x
x
Do đó, đồ thị hàm số P(x) không có tiệm cận ngang.

Ta có :

288
lim y  lim(2
x
)  

x 0
x 0
x

288
; lim y  lim(2
x
) 

x 0
x 0
x

Do đó, đồ thị hàm số P(x) có tiệm cận đứng là

288
 P (x)  2x  lim(2x 
 2x)  0
Ta có : xlim
 
x 
x
Do đó, đồ thị hàm số P(x) có tiệm cận xiên là