Người ta thấy rằng nhiều hiện tượng tự nhiên tuân theo quy luật một đại
kt
lượng A biến thiên theo thời gian t theo hàm số mũ sau: A t  A00e kt



Ở đây là lượng ban đầu (ứng với t = 0) và k ≠ 0 là một hằng số. Khi đó đại
lượng A được gọi là tuân theo luật hàm số mũ (tăng trưởng nếu k > 0, suy
thoái nếu k < 0).
Năm 2020, dân số thế giới khoảng 7 795 triệu người và tỉ lệ tăng dân
số là 1,05% mỗi năm. Hãy ước tính dân số thế giới vào năm 2050 (làm
tròn kết quả đến hàng triệu).
Nếu tỉ lệ tăng dân số được giữ nguyên, ta có:

A 30  7795.e30.1,05% 10 681,17133
Ước tính dân số thế giới vào năm 2050 là: 10 681 triệu người

Các chất phóng xạ đều có chu kì bán rã riêng, là thời gian cần thiết để một nửa số chất
phóng xạ bị phân rã. Trong phương pháp xác định niên đại bằng carbon, người ta sử
dụng thực tế là tất cả các sinh vật sống đều chứa hai loại carbon: Carbon-12 (một loại
carbon ồn định) và carbon-14 (một loại carbon phóng xạ với chu kì bán rã 5 730 năm).
Khi một sinh vật đang sống, tỉ lệ giữa carbon-12 và carbon-14 là không đồi. Nhưng khi
một sinh vật chết đi, lượng carbon-12 ban đầu không thay đổi nhưng lượng carbon-14
bắt đầu giảm. Sự thay đổi lượng carbon-14 này so với lượng carbon-12 hiện tại giúp
chúng ta có thể tÍnh được thời điểm sinh vật chết.
Dấu vết của gỗ bị đốt cháy cùng với các công cụ đá cổ đại trong một cuộc
khai quật khảo cổ học được phát hiện có chứa khoảng 1,67% lượng
carbon-14 ban đầu. Biết chu kì bán rã của carbon-14 là 5 730 năm (theo
britannica.com), hãy ước tính khoảng thời gian cây bị chặt và đốt

Chu kì bán rã là thời gian cần thiết để một nửa số chất phóng xạ bị phân rã và
chu kì bán rã của carbon-14 là 5 730 năm nên ta có:
k .5730

50% A0  A0 e

kk.5730
.5730

 50% e

1
ln 2
 ln k .5730  k 
2
5730

Do dấu vết của gỗ bị đốt cháy cùng với các công cụ đá cổ đại trong cuộc khai
quật khảo cổ học được phát hiện có chứa khoảng 1,67% lượng carbon-14 ban
đầu nên ta có:

1,67% e kt  t 33829,97
Vậy thời gian cây bị chặt và đốt khoảng 33 830 năm.

Trước đây các nhà hoá học thường đo tính acid của một dung dịch bằng cách đo
nồng độ ion hydrogen của nó. Năm 1909, nhà hoá học người Đan Mạch Søren Peter
Lauritz Sørensen đề xuất một phương pháp thuận tiện hơn:
trong đó [H] là nồng độ của các ion hydrogen được đo bằng mollit (M). Ví dụ, nếu
thì . Dung dịch có độ pH = 7 được xác định là trung tính, dung dịch có độ pH < 7 có
tính acid và dung dịch có độ pH > 7 là dung dịch base. Nhận thấy rằng khi pH tăng 1
đơn vị thì giảm đi 10 lần.
Nồng độ ion hydrogen của nước chanh là Hãy tính độ pH của nước
chanh và cho biết nó có tính acid hay base.

Độ pH của nước chanh là:
Vì 2,3 < 7 nên nước chanh có tính acid.

Vào năm 1935, nhà địa chất học người Mỹ Charles Richter đã định nghĩa cường độ M
của một trận động đất là . trong đó là biên độ của trận động đất (được đo bằng biên độ
của kết quả đo địa chấn lấy 100 km từ tâm động của trận động đất) và S là biên độ của
một trận động đất “tiêu chuẩn" (có biên độ là 1 micrômét = mét). Cường độ của một
trận động đất “tiêu chuẩn" là
Thang độ Richter cung cấp các con số dễ quản lí hơn để làm việc. Chẳng hạn, một trận
động đất có cường độ 6 độ Richter mạnh hơn 10 lần so với một trận động đất có
cường độ 5 độ Richter.
Ở 3 độ Richter, động đất chỉ có ảnh hưởng trong một vùng có diện tích nhỏ; ở 4 đến 5
độ Richter, động đất gây ra một số thiệt hại nhỏ; ở 6 đến 8 độ Richter, động đất gây ra
thiệt hại lớn; ở 9 độ Richter, thiệt hại là cực kì lớn.

Trận động đất năm 1906 ở San Francisco có cường độ ước tính là 8,3 độ
Richter. Trong cùng năm đó, một trận động đất mạnh đã xảy ra ở biên giới
Colombia-Ecuador với cường độ mạnh gấp 4 lần. Hỏi trận động đất ở biên
giới Colombia-Ecuador có cường độ là bao nhiêu độ Richter?

Vì trận động đất ở biên giới Colombia-Ecuador có biên độ mạnh gấp 4 lần
biên độ trận động đất ở San Francisco nên ta có cường độ trận động đất
ở biên giới Colombia-Ecuador là:
độ Richter
Vậy trận động đất ở biên giới Colombia-Ecuador có cường độ khoảng 8,9
độ Richter.

Tai người nhạy cảm với nhiều cường độ âm thanh khác nhau. Chúng ta lấy cường độ
tham chiếu (woát trên mét vuông) ở tần số 1000 hertz, nó đo âm thanh nhỏ nhất mà
tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe). Cảm giác tâm lí về âm lượng
thay đổi theo lôgarit của cường độ (định luật Weber-Fechner), do đó mức cường độ
âm L, đo bằng decibel (dB), được định nghĩa là
Mức cường độ âm đặc trưng cho độ to nhỏ của âm. Công thức trên cho thấy: Khi
cường độ của âm tăng lên 102, 103.... lần thì cảm giác về độ to nhỏ của âm tăng lên
gấp 2, 3.... lần.
Cường độ của âm thanh giao thông tại một ngã tư đông đúc đo
được là 2,0 × 10−5 W/m2. Tìm mức cường độ âm tính bằng decibel.
Mức cường độ âm tính bằng deciben là (dB).
Vậy mức cường độ âm khoảng 73 dB.