Các mũi tên chỉ đường gợi lên hình ảnh Vectơ trong không gian

I . VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

HĐ 1.

Trong Hình 2.2, lực căng dây được thể hiện
bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ. Các đoạn thẳng
này cho biết gì về hướng và độ lớn của các lực căng
dây? Chúng có cùng nằm trong một mặt phẳng không?

 Các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ thể hiện rằng lực căng
dây nằm dọc theo dây treo và hướng về phía móc treo của
cần cẩu. Độ lớn của các lực căng dây xấp xỉ bằng nhau.
 Các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ không cùng nằm trong
một mặt phẳng.

Hình 2.2

 Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
 Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm
cuối của vectơ đó.

  
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Trong các vectơ AC , AD, AD '
a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD)?
b) Hai vectơ nào có cùng độ dài?

1


a) AC , AD là hai vectơ có giá cùng nằm trong
mặt phẳng (ABCD).
 
b) AC , AD ' là hai vectơ nào có cùng độ dài.

B



A

C

D

B
A

C

D

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (H.2.7).


a) So sánh độ dài của hai vectơAB và
 DC 
b) Nhận xét về giá
 của hai vectơ AB và DC 
c) Hai vectơ AB và DC  có cùng phương không? Có cùng hướng không?
A

a) Hai vectơ có độ dài bằng nhau.
b) Hai vectơ có giá song song với nhau.
c) Hai vectơ cùng phương, cùng hướng.

D

B

C
A

B

D

C
H.2.7

 Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
 Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.
 Hai vectơ và được gọi là bằng nhau, kí hiệu , nếu chúng có cùng độ dài và cùng
hướng.

 
a c
 
    a b
b c

 Hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì chúng
bằng nhau vì chúng có cùng hướng và cùng độ dài.


 Trong không
 gian, với mỗi điểm O và vectơ a cho trước, có duy nhất
điểm M saoOM
choa
.
 
 Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như AA, BB,...

gọi là các vectơ-không.
 Quy ước vectơ-không có độ dài là 0, cùng hướng, phương với mọi
 vectơ.
Do đó, các vectơ không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là 0 .

2

Cho hình lăng trụ
ABC.A'B'C'
(H.2.8).
 

 
a) Trong ba vectơ BC; CC ; BB , vectơ nào bằng vectơ AA? Giải  thích
 vì sao.
b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Xác định điểm M' sao cho MM   AA

 
a) AA BC vì không cùng phương.
 
AA CC  vì tứ giác ACC'A' là hình bình hành
 
AA BB vì ngược hướng

C

A
M

B

b) Gọi M' là trung điểm của cạnh B'C'.

  
Khi đó ta có AA BB MM 

Vậy trung điểm của cạnh B'C' là điểm M'
cần tìm.

C

A

M

B
H.2.8

2

Cho hình chóp S.ABCD

  có
 đáy ABCD là hình bình hành.
a) Trong ba vectơ SC , AD, DC , vectơ nào bằng vectơ AB ?
 
b) Gọi M là một điểm thuộc cạnh AD. Xác định điểm N sao cho MN  AB
S

 
a) DC  AB

 M  AD


b)  

 MN  AB

 N   BC



 MN // AB

A

B

D

C

Một toà nhà có chiều cao các tầng là như nhau. Một thang máy di
chuyển từ tầng 15 lên tầng 22 của toà nhà, sau đó di chuyển từ tầng 22
lên tầng 29. Các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai
lần di chuyển đó có bằng nhau không? Giải thích vì sao.

Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy
từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà là và từ tầng
22 lên tầng 29 của tòa nhà là
Khi đó: cùng hướng và cùng độ dài. Vậy

II . TỔNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

 
Trong không
  A và vẽ
 gian,
  cho hai
 vectơ a và b không cùng phương. Lấy điểm
 
b . Lấy
 điểm
 A' khác A, vẽ các vectơ AB a , BC  b
các vectơ AB a , BC
 
a) Giải thích vì sao AA BB và BB CC 
b) Giải thích vì sao AA'C'C là hình bình hành, từ đó suy ra AC  AC 






a) Vì AB  AB a nên tứ 
giác
  ABB'A'
là hình bình hành.
 Suy ra AA BB
Tương tự ta có BB
  CC 
b) Từ câu a, suy ra AA CC 
do đó bốn điểm A, C, A', C' đồng phẳng
và tứ giác ACC'A' là hình bình hành.

 
Vậy AC  AC 

A

C


b

B

B


a
A

A
H.2.10

II . TỔNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Trong không gian, cho hai vectơ và . Lấy một điểm A bất kì và các điểm B, C sao
cho , . Khi đó, vectơ được gọi là tổng của hai vectơ và , ki hiệu là .
Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

C

B
A

 Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng
vẫn đúng trong không gian

4

 Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:





 
AB  CD  AD  CB

     
 
Ta có: AB  CD  AD  DB  CB  BD  AD  CB
B

QUY TẮC HÌNH HỘP

A

D

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khi đó ta có

   
AB  AD  AA  AC 

C

B'
A'

C'
D'

 Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa
tạo nên một lực tác dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên
lọ hoa. Có nhận xét gì về độ dài và hướng của các vectơ biểu diễn hai
lực đó?

 Vì hai lực cùng phương, ngược hướng và có
độ lớn bằng nhau
Nên hai vectơ biểu diễn hai lực đó cùng
phương, ngược hướng và có độ lớn bằng nhau.

Hình 2.15

III . HIỆU CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

 Trong không gian, vectơ cùng độ dài và ngược hướng với vectơ được gọi
là vectơ đối của vectơ , kí hiệu là .
 Vectơ được gọi là hiệu của hai vectơ và , kí hiệu là .
 Trong không gian, phép lấy hiệu của 2 vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

 Với 3 điểm O, A, B bất kì trong không gian, ta có

  
OB  OA  AB

6

 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N
lần lượt là trung
rằng:
  minh

 điểm của AB, CD.Chứng

b) SC  AM  AN SA
a) CN  AM
S

a) ABCD là hình bình hành và M, N lần lượt là
trung điểm
 của AB,
 CD nên CN = AM và CN//AM.

Hai vectơ CN và AM có cùng độ dài và ngược
hướng nên chúng là hai vectơ đối nhau.


b) Ta có CN  AM nên:

     
SC  AM  AN SC  CN  AN
    
SN  AN SN  NA SA

D

A
M

N
B

C

6

 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của AB, CD.Chứng
minh
rằng:



   


b) SD  BN  CM SC
a) BN  DM
S

a) ABCD là hình bình hành và M, N lần lượt là
trung điểm
 của AB, CD nên BN = DM và BN//DM.


Hai vectơ BN và DM có cùng độ dài và ngược

hướng nên chúng là hai vectơ đối nhau.


b) Ta có BN  DM nên:

     
SD  BN  CM SD  DM  CM
    
SM  CM SM  MC SC

D

A
M

N
B

C

 Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

   
a. AB  CD  AD  CB

7

     
b. AB.CD  AC .BD  AD.BC 0

     
   
a. AB  CD  AD  CB  AB  AD CB  CD  DB DB
b.

  
AB.CD  AC .BD  AD.BC 0

 Thang cuốn tại các trung tâm thương mại, siêu thị lớn hay nhà ga,
sân bay thường có hai làn, trong đó có một làn lên và một làn
xuống. Khi thang cuốn chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc của
mỗi làn có là hai vectơ đối nhau hay không? Giải thích vì sao.
Hai vectơ vận tốc cùng phương (làn lên
và làn xuống song song) và ngược hướng
(một làn đi lên và một làn đi xuống).
Thông thường thì làn lên và làn xuống có
cùng tốc độ di chuyển nên độ lớn của hai
vectơ vận tốc bằng nhau. Vì vậy hai vectơ
vận tốc là hai vectơ đối nhau.

IV . TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. M, N lần lượt là trung điểm AB, AC.
a) và cùng phương không? Cùng hướng không?



1
b) Vì sao MN  B ' C '
2

N

A

a) và cùng phương, cùng hướng.


1
1


 NM  BC  B ' C '
1
b) Vì 
nên MN  B ' C '
2
2
2
 MN //B ' C '


C

M

B

A

C

B
Hình 2.17

IV . TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

 Trong không gian, tích của một số thực với một vectơ là một vectơ, kí
hiệu là , được xác định như sau:
- Cùng hướng với vectơ nếu ; ngược hướng với vectơ nếu
- Có độ dài bằng
Trong không gian, phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép
nhân một số với một vectơ.
 nếu hoặc .
 Nếu thì k = 0 hoặc .
 Trong không gian, điều kiện cần và đủ đề hai vectơ và ()
cùng phương là có một số thực k sao cho .

 


Các cặp vectơ sau có bằng nhau không? 1a và a ; ( 1)a và  a
 


Cần so sánh phương, hướng, độ dài của 1a và a , (  1)a và  a để kết
 


luận:
1a a; ( 1)a  a

7

 Trong HĐ6. Gọi O là giao điểm của AB', A'B



Chứng minh rằng CC  ( 2)OM

A

Vì O là trung điểm của AB' nên OM là đường
trung bình của tam giác AB'B. Suy ra B'B // OM
và B'B = 2OM.
Tứ giác BCC'B' là hình bình hành nên B'B // C'C
và B'B = C'C. Do đó C'C // OM và C'C = 2OM.


Vì hai vectơ CC  và OM ngược hướng nên


CC  ( 2)OM

C
M

B

O
A

C

B

7

 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi
E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho:

1
1
1
SE  SA; SF  SB. Chứng minh rằng EF  DC
3
3
3
S

SE SF 1
1
1


SE  SA; SF  SB 
3
3
SA SB 3

E

1

 EF //AB

 1
EF

AB


 EF  DC
   3
 
1
3
 DC  AB
 EF  AB
3



F
A

B

D

C

8

 Cho tứ diện ABCD. Gọi G là
 trọng
 tâm tam giác BCD
Chứng minh rằng AB  AC  AD 3 AG

A

  

Ta có GB  GC  GD 0
        
 AB  AC  AD  AG  GB  AG  GC  AG  GD
   



3 AG  GB  GC  GD 3 AG  0 3 AG





Tương tự trong mặt phẳng, nếu G là trọng
tâm của tam giác ABC thì với điểm O tuỳ ý,
  

Ta có OA  OB  OC 3OG

B
G

D

C



8


AI 3IG
Trong Ví dụ 8, gọi I là điểm  thuộc
  đoạn

  thẳng AG sao cho
(H.2.19). Chứng minh rằng IA  IB  IC  ID 0

A

Tronghình
 chóp
 IBCD ta có:
IB  IC  ID 3IG
     
 IA  IB  IC  ID IA  3IG
 

IA  AI 0.

I

C

B

 Điểm I nói trên được gọi là trọng
tâm tứ diện ABCD

G

D

 Lực cản của không khí ngược hướng với lực
đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với
bình phương vận tốc máy bay. Khi tăng tốc,
máy bay vẫn giữ nguyên hướng bay nên ta có:



 F kF


 1  2
 F kF
2

 1

F1



2025
2
2


0,96
k 
 F1 900 ; F2 920
F2 2116


V . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Trong không gian, cho vectơ khác . Lấy điểm O và vẽ các vectơ , . Lấy điểm
O' khác O và vẽ các vectơ , (H.2.21).
a) Giải thích vì sao
b) Áp dụng định lí côsin cho OAB và O'A'B' để giải thích vì sao =


 
a) AB  AB vì AB OB  OA b  a








 
 
AB OB  OA b  a
2
2
2
OA

OB

AB
AOB 
b) cos  
2 OA OB
2
2
2






O
A

O
B

A
B
cos 
AOB 
.
2 OAOB

A


a



Vì OA = OB, O'A' = O'B' và AB   AB nên
cos 
AOB cos 
AOB  
AOB  
AOB

O


b

A

B

O

B

a. Góc giữa hai vectơ trong không gian
 Trong không gian, cho hai vectơ và khác vectơ . Lấy một điểm M bất kì và
các điểm A, B sao cho , . Khi đó, góc được gọi là góc giữa hai vectơ và , kí
hiệu là . (H.2.22)

 Nếu góc giữa hai vectơ và là 900 thì và
vuông góc với nhau, kí hiệu
Xác định góc giữa hai vectơ cùng hướng
(khác ), ngược hướng trong không gian.
 Góc giữa hai vectơ cùng hướng (khác
) là 0o, ngược hướng là 180o.


a


b
M
B

A

H.2.22

V . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C' D'. Tính các góc:

9

 
 
AD, BC  và AC , AD

 






AD và BC  cùng hướng nên AD, BC  0 0
 
ADA'D' là hình bình hành nên AD  AB







B
A

 
 

 AC , AD  AC , AD CAD
450



 

C



D

B

C

A

D

H.2.24

V . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

9

 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' . Tính các góc:

 
 
AA, BC và AB, AC 



 

C

BCC'B' là hình chữ nhật nên

 
 
AA ', BC  B ' C ', BC 90 0



 

A'C'B' là tam giác đều nên





A
B



AB, A ' C '  A ' B ', A ' C ' 60 0



 



C
A
B
H. 2.25

V . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

 Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ không và là một số,
kí hiệu là , được xác định bởi công thức:
 Trong không gian, cho hai vectơ và khác vectơ . Tích vô hướng của hai
vectơ và là một số, kí hiệu là , được xác định bởi công thức:

3. .

1. hoặc thì
2.

4.


a.b
 .
a b

V . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

10

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
có độ
 dài tất cả các cạnh bằng a.

Tính các tích vô hướng sau: AS.BC và AS. AC

   
a2
 AS.BC  AS. AD 
2
 
 
2
0
 AS. AC  AS . AC .cos 45 a.a 2.
a2 .
2

S

E
A

B

O
D

C

V . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

10

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
có độ
 dài tất cả các cạnh bằng a.

Tính các tích vô hướng sau: AS.BD và AS.CD

S

Gọi E là trung điểm SC. Khi đó ta có

a 3
a 2
;
BD a 2  OB 
; EB 
2
2 
OE 2  OB 2 EB 2  OE  OB
 


 
 AS.BD 2OE.  2OB  4OE .OB 0
   
 
 AS.CD  AS.BA  AS. AB 
 
2
a
 AS . AB cos 60 0 
2



E



A

B

O
D

C

 
 
 
Ta có: A F.MN  F . MN cos F.MN
 
Vì F . MN không đổi nên A lớn nhất khi
 
 
cos F.MN 1  F.MN 0 0













Do đó, lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật.
Vậy khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng, ta nên kéo (hoặc đẩy) theo hướng song
song với hướng chuyển động mong muốn của vật.

2.1  Các mệnh đề đúng là a), b).
2.2

 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 2, AD = 3 và AA' = 4.
Tính độ dài của các vectơ và
B

Vì BB' = AA' = 4 nên .

C

D

A

Tam giác vuông ABD có:


BD  AB  AD  2  3  13  BD 13
2

2

2

Tam giác vuông BDD' có:

2


BD  BD 2  DD2  13  42  29  BD  29

B
A

C

D

2.3

 Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật (Hình 2.29). Trọng lực tác dụng lên
bàn (biểu thị bởi vectơ ) phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các
phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ ,).

   

a) Các vectơ  b ,  c ,  d ,  e đều cùng
với vectơ a nên chúng đôi một cùng
  phương
 

phương với nhau. Các vectơ  b ,  c ,  d ,  e đều ngược hướng với vectơ a nên chúng
đôi một cùng hướng với nhau.

b) Do trọng lực phân tán đều qua các chân bàn
nên các phản
lực có độ lớn như nhau, suy ra các
  
vectơ  b ,  c ,  d ,  e có độ dài bằng nhau. Do đó các


vectơ  b ,  c ,  d ,  e đôi một bằng nhau.

Hình 2.29

2.4

 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. CMR

  
   
    
a) AB  DD  C D CC . b) AB  CD  CC  0. c) BC  CC   DC  AC



      
a ) AB  DD  C D DC  DD  CD DD CC .
       

b) AB  CD  CC  DC  CD  CC  DD  CC  0.
      
c) BC  CC   DC BC  C C  DC  AC

B
A

C

D

B

(theo quy tắc hình hộp).
A

C
D



2.5

  

 Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA a ; AB b; AC c .Hãy
 
a; b; c
biểu diễn các vectơ sau qua các vectơ



a ) AB '
b) B ' C
c) BC '

  
 
a ) AB  AA  AB a  b .
     
  
b) BC BB  BC  AA  AC  AB  a  c  b .
     
  
c) BC  BB  BC  AA  AC  AB a  c  b .

2.6

 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD

   
là hình bình hành nếu và chỉ nếu SA  SC SB  SD

 
   
   
SA  SC SB  SD  SA  SB SD  SC  BA CD

 ABCD là hình bình hành

2.7

 Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho SM = 2AM.
Trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho CN=2BN. Chứng minh rằng


1 

MN  SA  BC  AB
3





   
 
  1 
1 
1
MN MA  AB  BN  SA  AB  BC  SA  BC  AB.
3
3
3





2.8


 Ta đã biết trọng tâm tứ diện ABCD là một điểm I thoả mãn , ở đó G là
trọng tâm của tam giác BCD. Áp dụng tính chất trên tính khoảng cách
từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một
mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là 8 cm
A


AI 3IG  A, I , G thẳng hàng và IG = 4AG.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A và I trên mặt phẳng (BCD).
IK
IG 1
Áp dụng định lí Thalès suy ra

 .
AH AG 4
1
1

 IK  AH    8 2 (cm)
4
4

Vậy khoảng cách từ trọng tâm của khối rubik
đến mỗi mặt là 2 cm.

I
B

C
G

D

2.9

 Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc
chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau. Nếu các
lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi
dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao.

Giả sử lực kéo
  trên mỗi sợi dây được biểu diễn bởi
các vectơ OA, OB,  OC
O là đầu chung
   của ba sợi
 dây. Khi ba sợi dây cân
bằng thì OA  OB  OC 0.
  
Vẽ hình bình hành OADB thì OA  OB OD,


 OD  OC hay O là trung điểm của CD
Do đó các điểm O, A, B, C cùng thuộc mặt phẳng (ABCD), suy ra ba sợi dây cùng
nằm trong mặt phẳng đó.

2.10

 Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh đáy
bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp
vectơ sau
đây và tính tích vô
hướng
của mỗi cặp
vectơ đó:









c) AC & BA
b) AA & BC
a ) AA &  C C
D

A

 
 
a ) AA,  C C 180 , AA CC   4;
 
 
b) AA,  BC 90 , AA BC 0

 
 
c) AC ,  BA  AC ,  BA 135 , AC  BA  1







 

B



C

A'

B'

D'

C'

2.11
2.12

 Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
     
     
a ) AB CD  AC CD  BC DC
b) AB CD  AC DB  AD BC 0
  
                   
a ) AB CD  AC  CB CD  AC CD  CB CD  AC CD  BC DC
         
   
b) AB CD  AC DB  AD BC  AC CD  BC DC  AC DB  AD BC
  
  
 AC  CD  DB  BC  DC  AD
      
 AC CB  BC AC  AC  CB  BC 0















